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如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，AE平分∠BAD，交BC于E．

（1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）若∠ABC=60°，BC=3AD，求证：∠CDE=90°．

试题答案

解：（1）∵AD∥BC，

∴∠2=∠3，

∵AE是角平分线，

∴∠1=∠2，

∴∠1=∠2=∠3，

∴AD=AB=BE，且AD∥BE，

∴四边形ABED是平行四边形，

又∵AB=BE，

∴四边形ABED是菱形；

（2）作DF∥AE，交BC于点F，

由（1）知，△ABE是正三角形，

∴∠EDF=∠AED=∠1=60°，

又∵BC=3AD，

∴EF=DF=FC，

∴∠CDF=∠EFD=30°，

∴∠CDE=90°．

试题解析

（1）首先由AD∥BC与AE是角平分线，易证得：AD=AB=BE，且AD∥BE，即可证得：四边形ABED是平行四边形，继而证得：四边形ABED是菱形；

（2）首先作辅助线：作DF∥AE，交BC于点F，由△ABC是正三角形，求得：∠EDF=∠AED=∠1=60°，又由BC=3AD，易得EF=DF=FC，则可证：∠CDE=90°．

点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定以及直角三角形的判定等知识．题目综合性较强，但难度适中，注意数形结合思想的应用．