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如图，△ABC中，O为AC上的任意一点（不与A、C重合），过点O作直线l∥BC，直线l与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA的平分线相交于点F．

（1）OE=OF吗？为什么？

（2）点O在何处时，四边形AECF为矩形？为什么？

（3）△ABC满足什么条件时，（2）中的四边形AECF是正方形？

试题答案

（1）解：理由是：∵直线l∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，

∵CE平分∠ACB，

∴∠OCE=∠BCE，

∴∠OEC=∠OCE，

∴OE=OC，

同理OF=OC，

∴OE=OF．

（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，

理由是：∵OA=OC，OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵OE=OF=OC=OA，

∴AC=EF，

∴平行四边形AECF是矩形．

（3）解：当△ACB满足∠ACB=90°时，矩形AECF是正方形，

理由是：∵直线l∥BC，

∴∠AOE=∠ACB，

∵∠ACB=90°，

∴∠AOE=90°，

∴AC⊥EF，

∵四边形AECF是矩形，

∴矩形AECF是正方形．

试题解析

（1）根据平行线性质和角平分线定义推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，根据等腰三角形的判定推出OE=OC，OF=OC即可；

（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形AECF，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可；

（3）根据（2）得出四边形是平行四边形，也是矩形，只要是得到是菱形的条件就行，即得出对角线互相垂直，由∠AOE=90°和矩形即可得出答案．

点评：本题综合考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，正方形的判定，平行线的性质，角平分线定义等知识点的应用，题型较好，综合性比较强，难度也适中．