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如图，圆内接四边形ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，AC=2，则四边形ABCD的面积为

A.4

B.2

C.

D.

试题答案

D

试题解析

连接BD，在AC上取CE=CD，连接DE，作AF⊥BC，交BC延长线于F，作AG⊥DC，交CD于G，先证明△ABD是等边三角形，再证明△CDE同样是等边三角形，可得BC+CD=AC=2，在构造的直角三角形中利用三角函数分别求出△ABC和△ACD的高，根据四边形ABCD的面积=S_△ABC+S_△ACD即可求解．

解答：解：连接BD，

∵∠BAD=60°，AB=AD，

∴△ABD是等边三角形．

在AC上取CE=CD，连接DE，

∵∠ECD=∠ABD=60°，

∴△CDE同样是等边三角形，

∴CE=CD=DE，BD=AD，∠ADE=∠ADB-∠EDB，∠BDC=∠EDC-∠EDB，

∴∠ADE=∠BDC，

∴△ADE≌△BDC，

∴AE=BC，

∴BC+CD=AC=2

作AF⊥BC，交BC延长线于F，作AG⊥DC，交CD于G，

∠ACB=∠ADB=60°（同弧圆周角相等）

AF=ACsin60°=×2=

同理，AG=ACsin60°=，

四边形ABCD的面积=S_△ABC+S_△ACD=BC•AF+AG•CD=×（BC+CD）=AC=．

故选D．

点评：本题难度比较大，其中涉及了多步辅助线的作法．分析题意正确地作出辅助线是解题的关键．其中在AC上取CE=CD，连接DE，构造等边三角形是个难点．求出BC+CD=AC=2是求四边形面积的关键步骤．