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如图，点C在线段AB上，△AMC和△CBN都是等边三角形，求证：

（1）；

（2）MD•EB=ME•DC．

试题答案

证明：（1）∵△AMC和△CBN都是等边三角形，

∴∠MAC=∠NCB=60°，

∴AM∥CN，

∴△ADM∽△NDC，

∴；

（2）∵△AMC和△CBN都是等边三角形，

∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=CM，CN=CB，

即∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中，

，

∴△ACN≌△MCB（SAS），

∴∠CAD=∠CME，

∵∠ACM=∠NCB=60°，

∴∠MCE=60°，

在△ACD和△MCE中，

，

∴△ACD≌△MCE（AAS），

∴AD=ME，

同理：△NDC≌△BEC，

∴BE=ND，

∵△ADM∽△NDC，

∴，

∴MD•ND=AD•DC，

∴MD•EB=ME•DC．

试题解析

（1）由△AMC和△CBN都是等边三角形，易证得AM∥CN，即可得△ADM∽△NDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得；

（2）易证得△ACN≌△MCB，继而可证得△ACD≌△MCE与△NDC≌△BEC，根据全等三角形的对应边相等，可得AD=ME与BE=ND，又由（1）△ADM∽△NDC，即可得，继而可证得MD•EB=ME•DC．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质的应用；注意数形结合思想的应用．