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如图，半圆的直径AB=2，点C从点A向点B沿着半圆运动，速度为每秒，运动时间为t（秒），D是弧BC的中点，连接AD，BC相交于点E，连接BD．

（1）如果OC∥BD，求t的值及的值；

（2）当t=3时，求的值．

试题答案

解：（1）∵OC∥DB，OB=OC，

∴∠DBC=∠C=∠CBA，

∴弧DC=弧AC，

又∵点D平分弧BC，

∴弧DC=弧AC=弧BD，

∴∠DBC=∠C=∠CBA=30°，

∴弧AC=，

∴t=π÷=2．

∵在Rt△ABD中，∠D=90°，AB=2，

∴DB=1，AD=．

∵在Rt△BDE中，∠D=90°，BD=1，∠DBE=30°，

∴tan30°=，

∴DE=，

∴AE=，

∴=；

（2）解：过点E作EF⊥AB于点F，

∵当t=3时，弧AC=，∠ABC=45°，

∵EF⊥AB，

∴∠EFB=90°，

∴∠BEF=45°=∠CBA=∠CAB，

∵∠C=90°，

∴AC=BC=，BF=EF=CE=2-，EB=BF=2-2，

∴AE²=+=8-4，

∵AB为直径，

∴∠C=∠D=90°，

∵∠AEC=∠BED，

∴△ACE∽△BDE，

∴=，

∴DB=，

∴===．

试题解析

（1）求出∠DBC=∠C=∠CBA=30°，求出弧AC长，即可求出t，求出DB、AD、DE，AE，代入即可求出答案；

（2）过E作EF⊥AB于F，求出AC、BC，求出BF、EF，求出AE，证△ACE∽△BDE，得出=，推出DB=，代入求出即可．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线性质，含30度角的直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．