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已知：如图，Rt△ABC外切于⊙O，切点分别为E、F、H，∠ABC=90°，直线FE、CB交于D点，连接AO、HE，则下列结论：

①∠FEH=45°+∠FAO；②BD=AF；③AB²=AO•DF；④AE•CH=S_△ABC

其中正确的是

A.①②③④

B.①③④

C.②③④

D.①②③

试题答案

D

试题解析

连接OE，OH，OF，OB，

①由切线的性质和四边形的内角和即可得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，再圆周角定理即可得到证明结论正确；

②根据已知条件知道四边形OEBH是正方形，然后证明△BDE≌△FAO，然后利用全等三角形的对应边相等即可得出结论；

③根据已知条件可以证明△DFH∽△ABO，根据相似三角形的对应边成比例和已知条件即可证明结论正确；

④根据直角三角形的面积公式直接解答即可．

解答：解：①连接OE，OH，则OE⊥AB，OH⊥BC，

得出：∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，

根据圆周角定理得∠FEH=∠FOH=45°+∠FAO，故此选项正确；

②连接OF，由①得四边形OEBH是正方形，

则圆的半径=BE，

∴OF=BE，

又∠DBE=∠AFO，∠BED=∠AEF=∠AFE，

则△BDE≌△FAO（SAS），

∴BD=AF；

故此选项正确；

③∵Rt△ABC外切于⊙O，切点分别为E、F、H，

∴BE=BH，AF=AE，

根据②得BD=AF，

∴BD=AE（等量代换），

∴AB=DH；

连接OB．

∵∠D=∠BAO，∠EFH=∠OBA=45°，

∴△DFH∽△ABO，

则DH•AB=AO•DF，又AB=DH，

所以AB²=AO•DF；故此选项正确．

④S_△ABC=AB•BC=（AE+BE）•（BH+CH）；

故此选项错误；

综上所述，正确的说法有①②③；

故选D．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心．此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理、圆周角定理和相似三角形的性质和判定，综合性比较强．