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如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S_矩形=40cm²，S_△ABE：S_△DBA=1：5，则AE的长为

A.4cm

B.5cm

C.6cm

D.7cm

试题答案

A

试题解析

根据“S_△ABE：S_△DBA=1：5”可以得到BE：BD=1：5，所以设BE=x，则BD=5x，ED=4x，根据射影定理表示出AB、AD，再根据S_矩形=40cm²，即可求出x的值，再利用△ABD的面积等于矩形面积的一半即可求出AE．

解答：∵S_△ABE：S_△DBA=1：5，

∴BE：BD=1：5，

设BE为x，则BD为5x，∴DE=4x，

在Rt△ABD中，∵AE⊥BD于E，

∴AB²=BE•BD=5x²，

AD²=DE•BD=4x•5x=20x²，

∴S_矩形=AB•AD=x•x=40cm²，

解得x=2cm，

∴BD=5×2=10cm，

S_△ABD=BD•AE=×10×AE=×40cm²，

解得AE=4cm．

故选A．

点评：本题根据面积的比求出边长的比，再利用射影定理表示出矩形的长与宽，进一步运用面积求出对角线的长，再根据三角形的面积求出对角线上的高．本题难度较大，利用射影定理是解题的关键．