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1. 行列式的性质 2. 倒序行列式的定义（第二定义） 1. 排列和倒序

由 n 个数字 1,2,...,n 组成的有序数组称为 n 层排列。例如23145是5级排列，41352也是5级排列。有n个！ n 级安排。逆序 在 n 级排列 i_1i_2\cdots i_s\cdots i_t\cdots i_n 中，如果 i_s>i_t，且 i_s 排在 i_t 前面逆序数在行列式的意义逆序数在行列式的意义，则称这两个数字形成逆序。在逆序数排列中，逆序总数称为排列的逆数，记为\tau(i_1i_2\cdots i_n)，如\tau(231546)=3,\tau(621534)= 8.从小到大的排列称为自然排序。比如12345，显然自然排序的倒数就是0。

奇数排列和偶数排列 当排列的相反数为奇数时，该排列称为奇数排列；当排列的倒数为偶数时，该排列称为偶排列。

2. n阶行列式的定义

n(n\geq2) 阶行列式

$$

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_ {n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} =\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{ nj_n}

$$

这里 \sum_{j_1j_2\cdots j_n} 表示所有n列下标的和，所以它是n的和！项目。请注意，行下标已按顺序排列，列下标是任意 n 层排列，因此每个项目都由取自不同行和不同列的 n 个元素的乘积组成。每一项的正负号取决于 (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}。当列下标为奇数排列时，应附加负号；当列下标为偶数排列时贝语网校，应追加“exact”。

【笔记】

指定一阶行列式 |a_{11}=a_{11}|

例如：请确认扩展项“a_{12}a_{31}a_{54}a_{43}a_{25}”前的正负号。答：首先将行下标排序为a_{12 }a_{25}a_{31}a_{43}a_{54}，然后计算\tau(25134)=4，是偶数排列，所以有该术语前面有一个积极的信号。

正确的