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绝对值三角不等式公式

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| 由两个双边不等式组成。

一是||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。当a、b同向时（若为实数绝对值三角不等式定理，则正数与负数相同），该不等式成立。当a、b异向时（若为实数，则a、b的正数与负数不同），||a|-|b||=|a±b|成立。

另一条是||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|。该等式的条件和上一条刚好相反。当a、b方向不同（若为实数，则ab的正负数不同）时，|ab|=|a|+|b|成立。当a、b方向相同（若为实数，则ab的正负数相同）时，||a|-|b||=|ab|成立。

三角不等式证明

设ABC为三角形，记为△ABC绝对值三角不等式定理，延长BA至点D，令DA=CA网校头条，连通DC。

由于 DA=AC，∠ADC=∠ACD（等边对应等角，《几何原本》命题 5）

所以∠BCD大于∠ADC（整体大于部分公理）

由于 DCB 是三角形，∠BCD 大于∠BDC，且大角所对的边较大（大角对应大边，命题 19）

因此 DB>BC，且 DA=AC

则DB=AB+AD=AB+AC>BC。